Ragnarok пишет:

Ты будешь смеяться, но бублик, по-моему, гомеоморфен сфере.
Потому что сфера двусвязна.

Сначала определим, что мы сравниваем. Бублик - фигура трёхмерная, а сфера, как мы уже договорились - это двумерная поверхность трёхмерного шара. Так что сравнивать сферу надо с поверхностью бублика.

А для этого возьмём да разобьём каждую из этих поверхностей сеточкой из выпуклых многоугольников. А потом сосчитаем сумму вершин и граней получившейся разбивки, за вычетом числа рёбер.
Сфера разбивается как произвольное платоново тело, например тетраэдр или куб. 4-6+4=2; 8-12+6=2.
Тор разбивается как элемент бесконечной повторяющейся мозаики, например, из квадратов. Возьмём их число, ну например 2*4. Получим развёртку:
ПППП
ПППП
Здесь 8 граней, 8 вершин и 16 рёбер. 8-16+8=0.
Как видим, числа разные. На гомеоморфных фигурах они были бы одинаковые.

Откуда это все? Ссылочку можно?

Ты будешь смеяться, но бублик, по-моему, гомеоморфен сфере.
Потому что сфера двусвязна.

Сначала определим, что мы сравниваем. Бублик - фигура трёхмерная, а сфера, как мы уже договорились - это двумерная поверхность трёхмерного шара. Так что сравнивать сферу надо с поверхностью бублика.

А для этого возьмём да разобьём каждую из этих поверхностей сеточкой из выпуклых многоугольников. А потом сосчитаем сумму вершин и граней получившейся разбивки, за вычетом числа рёбер.
Сфера разбивается как произвольное платоново тело, например тетраэдр или куб. 4-6+4=2; 8-12+6=2.
Тор разбивается как элемент бесконечной повторяющейся мозаики, например, из квадратов. Возьмём их число, ну например 2*4. Получим развёртку:
ПППП
ПППП
Здесь 8 граней, 8 вершин и 16 рёбер. 8-16+8=0.
Как видим, числа разные. На гомеоморфных фигурах они были бы одинаковые.

Ragnarok пишет:

[
И наоборот тоже. Гомеоморфность она штука эээ ассоциативная, по-моему, это называется.

Ну может быть... Я слышала что все это одна и та же фигура. То есть шар - это такой тор

Если меня память не подводит не столь давно Перельман доказал какую-то там теорию (простите мою серость), из которой можно сообразить что как раз тор и сфера принципиально разные объекты.

Ragnarok пишет:

[
И наоборот тоже. Гомеоморфность она штука эээ ассоциативная, по-моему, это называется.

Ну может быть... Я слышала что все это одна и та же фигура. То есть шар - это такой тор

По сути да.

[
И наоборот тоже. Гомеоморфность она штука эээ ассоциативная, по-моему, это называется.

Ну может быть... Я слышала что все это одна и та же фигура. То есть шар - это такой тор

Ragnarok пишет:

Ты будешь смеяться, но бублик, по-моему, гомеоморфен сфере.
Потому что сфера двусвязна.
Я недавно это читал, вот вспомнилось. )))

Но не наоборот... Получается так

И наоборот тоже. Гомеоморфность она штука эээ ассоциативная, по-моему, это называется.

Ты будешь смеяться, но бублик, по-моему, гомеоморфен сфере.
Потому что сфера двусвязна.
Я недавно это читал, вот вспомнилось. )))

Но не наоборот... Получается так

Ragnarok пишет:

srez пишет:

Вопрос терминологии? {x; |A - x| <= r} вуаля определение шара. Пересекаешь с N мерной поверхностью и вуаля определение N мерной сферы.

А односвязность...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Трехмерная область называется пространственно-односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую поверхность можно сжать в точку, не пересекая границ области. Трехмерная область называется поверхностно - односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую  кривую можно сжать в точку, не пересекая границ области. В противном случае область называется многосвязной.

Подожди.
Сфера это будет то же что ты написал, только вместо <= будет =

Односвязная - это типа лист мебиуса, если мне не изменяет память. Дается определение через знак нормали, что-то в таком духе.

Ну да, шар <=, сфера соотвественно =

А с односвязностью я привел как раз определение, я так понимаю это без дыр. То бишь тор (бублик) не односвязный и соотвественно не гомеоморфен сфере, что легко показать. Лист мебиуса, тоже не гомеоморфен сфере.

Про гомеоморфизм
Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, Sў, – это отображение (p ® pў) точек p из S в точки pў из Sў, удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и Sў взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка pў из Sў и в каждую точку pў отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками pў, qў из Sў также стремится к нулю, и наоборот.

Мы в свое время в инсте с Wic проходили это все, и теорему Пуанкаре проходили тоже. Фактически, это означает, что если у нас есть кусок теста в форме одного комка без внутренних дырок, то его всегда можно перелепить в шар, а шар перелепить в него, причем при этом недопустимо рвать тесто. А односвязность как раз означает отсутствие "дырок".

Например, чтобы из шара вылепить бублик, надо в какойто момент прорвать дырку в ней, что запрещено. Поэтому то бублик и не гомеоморфен сфере. Но бублик и не односвязен, ибо в нем есть дырка, и если мы возьмем контур который обходит дырку, он всегда будет ее содержать и мы не сможем его в точку превратить. Фактически можно представить, что мы в резиновый тор внутри вокруг дырки резинку положили, она будет сжиматься в точку, но дырка не позволит ей стать точкой и она повиснет на дырке, это и означает, что бублик не односвязен.

Ты будешь смеяться, но бублик, по-моему, гомеоморфен сфере.
Потому что сфера двусвязна.
Я недавно это читал, вот вспомнилось. )))

Ragnarok пишет:

Земля, вообще-то, эллипсоид вращения.

Шар, куб, эллипсоид, чемодан без ручки - всё едино.
Главное, что это фигура, гомеоморфная шару.

Если б мне кто-то напомнил, что такое гомеоморфизм

srez пишет:

kaprizka пишет:

Это вопрос терминологии.
Видимо, они условились, что поверхность обычного шара - двухмерная.
А поверхность круга - одномерная.
При этом срезом обычного шара является круг, срезом круга отрезок, а срезом четырёхмерного шара трёхмерный шар.

Я вот только пока не понял, что значит односвязная. Скажем, поверхность бублика - односвязная? А кренделя?

Вопрос терминологии? {x; |A - x| <= r} вуаля определение шара. Пересекаешь с N мерной поверхностью и вуаля определение N мерной сферы.

А односвязность...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Трехмерная область называется пространственно-односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую поверхность можно сжать в точку, не пересекая границ области. Трехмерная область называется поверхностно - односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую  кривую можно сжать в точку, не пересекая границ области. В противном случае область называется многосвязной.

Подожди.
Сфера это будет то же что ты написал, только вместо <= будет =

Односвязная - это типа лист мебиуса, если мне не изменяет память. Дается определение через знак нормали, что-то в таком духе.

Ну да, шар <=, сфера соотвественно =

А с односвязностью я привел как раз определение, я так понимаю это без дыр. То бишь тор (бублик) не односвязный и соотвественно не гомеоморфен сфере, что легко показать. Лист мебиуса, тоже не гомеоморфен сфере.

Про гомеоморфизм
Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, Sў, – это отображение (p ® pў) точек p из S в точки pў из Sў, удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и Sў взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка pў из Sў и в каждую точку pў отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками pў, qў из Sў также стремится к нулю, и наоборот.

Мы в свое время в инсте с Wic проходили это все, и теорему Пуанкаре проходили тоже. Фактически, это означает, что если у нас есть кусок теста в форме одного комка без внутренних дырок, то его всегда можно перелепить в шар, а шар перелепить в него, причем при этом недопустимо рвать тесто. Причем надо без разрывов перелипливать как туда, так и обратно, с слиплять тесто можно, главное не рвать.
А вот односвязность как раз означает отсутствие "дырок", причем пузырки не проблема, главное чтобы именно таких сквозных проколов не было.

Например, чтобы из шара вылепить бублик, надо в какойто момент прорвать дырку в ней, что запрещено. Поэтому то бублик и не гомеоморфен сфере. Но бублик и не односвязен, ибо в нем есть дырка, и если мы возьмем контур который обходит дырку, он всегда будет ее содержать и мы не сможем его в точку превратить. Фактически можно представить, что мы в резиновый тор внутри вокруг дырки резинку положили, она будет сжиматься в точку, но дырка не позволит ей стать точкой и она повиснет на дырке, это и означает, что бублик не односвязен.

Земля, вообще-то, эллипсоид вращения.

Шар, куб, эллипсоид, чемодан без ручки - всё едино.
Главное, что это фигура, гомеоморфная шару.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Трехмерная область называется пространственно-односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую поверхность можно сжать в точку, не пересекая границ области. Трехмерная область называется поверхностно - односвязной, если любую целиком расположенную внутри нее замкнутую  кривую можно сжать в точку, не пересекая границ области. В противном случае область называется многосвязной.

Ах вот оно что. И что, из-за гомеоморфности такой области "трёхмерной сфере" в четырёхмерном пространстве возникла целая проблема?
А в трёхмерном пространстве она как решается?
А в двухмерном?

Ragnarok пишет:

Funtik пишет:

Я думала он про две точки говорит...

Какие две точки?

Ну что шар задается двумя точками. Координатой центра и координатой любой точки поверхности... Что-то вроде этого

А.

Ragnarok пишет:

Поверхность шара нельзя задать с помощью 2х измерений. Плохо с математикой?

Земля - шар.
Любая точка на земной поверхности описывается ДВУМЯ координатами - широтой и долготой.
Так что, как я уже сказал - это вопрос определения. Главное - не менять терминологии во время доказательства. А как именно называть - дело менее важное.

Земля, вообще-то, эллипсоид вращения.
Но я, наконец-то, понял, что ты хотел сказать )

Funtik пишет:

Я думала он про две точки говорит...

Какие две точки?

Ну что шар задается двумя точками. Координатой центра и координатой любой точки поверхности... Что-то вроде этого