Неужели казино можно обхитрить такой программой? (Страница 10 из 11)

Сорри, мне показалось, что вы спорите со Зверьком. Но, по-видимому, вы признали, что никакой силы, влияющей на ход эксперимента и таинственным образом заставляющей увеличиваться вероятности не появляется.

Помолчим... (Кстати, симметричной относительно чего?)

Эту задачу можно смоделировать следующим образом.

Берется та же самая бесконечная доска. В некоторую точку помещается единица (вероятность, что там король на 1-м этапе). Затем проводится преобразование: для каждой клетки вычисляется среднее арифметическое ее 8-ми соседей. Потом новые значения заменяют старые. Это будут вероятности нахождения короля в какой-то точке после 1-го хода. И так далее.

Имхо, после бесконечного числа итераций в начальной клетке будет ноль. Но строго доказать это я не пробовал. (Может я и ошибаюсь.) Но это не является ответом на задачу, так как он с большой вероятностью может вернуться уже на втором ходу (и вообще на любом, но с меньшими вероятностями).

(Кстати, есть похожая нерешенная проблема о вероятности появления несамопересекающейся тректории в n-мерном гиперкубе.)

интересно.

Суть моего доказательства была в том, что значение в исходной клетке постоянно уменьшается за счет уменьшения значений в окружающих клетках, значения в которых тоже уменьшаются по той же причине. Процесс этот будет идти бесконечно, так как "пятно" ненулевых значений всегда будет окружено нулями. Осутствие ненулевой асимптотики у величины в начальной клетке доказывается от противного. Из-за своей природной лени, вычищать доказательство для повышения строгости я не стал.

Кстати, я сделал в пакете Mathematica видео с динамикой системы. Там наглядно видно "расползание" горба нормального распределения.

Я это и раньше читал.

В "этики", вестимо ,-)
а данный конкретный экземпляр весьма органично смотрится на позиции гама - доказать он ничего не в состоянии, зато активно пытается _внушить_: а) будто бы аргументы оппонента смешны; и б) будто бы он (герой наш) способен что-то доказать... ,-)

:-)
"статусность" - бетанская ценность. бОльшая часть "альфийских /псевдо/логиков" подалась в эти самые "альфийские логики" именно за (мнимым) статусом. Так что распределять будем не равномерно, а по преимуществу в бету :-Ъ

и чем это таким геки перед нами так провинились ? :-)

2kaprizka

Можно сделать небольшое обобщение.

Пусть есть точка в n-мерном пространстве, которая в нулевой момент времени находится в нуле. Она может в дискретные моменты времени изменять свои координаты на величины, одинаково распределенные произвольным образом, но имеющие мат. ожидание, равное 0.

Тогда в силу т. Хинчина при устремлении количества итераций в бесконечность среднее перемещение будет сходиться по вероятности к 0, то есть для любого e>0, вероятность того, что среднее перемещение больше e по модулю (или, вообще говоря, по какой-то норме) равно 0.

Мне кажется, что это означает, что точка обязательно в процессе своего бесконечного движения пройдет через сколь угодно малую окрестность нуля. Попадание в 0 -- практически невозможное событие. Интересно также то, что при всем этом, область возможных положений точки совпадает со всем пространством.

P.S. Результат не такой уж очевидный. Возможно, у меня в рассуждениях есть какая-то неточность.
P.P.S. Интересно было бы исследовать движение точки в бесконечномерном пространстве.
P.P.P.S. Пошел жесткий оффтопик...

Уболтал

---

Такова была форумская традиция :
Но "новые песни придумала жизнь"

<начало вырезано из-за глюка форума>
...
Откуда взялась двумерность? Дело в том, что радиус системы характеризуется среднеквадратичным отклонением и растёт пропорционально квадратному корню из числа шагов. Получается, что плотность центрального шарика, ограниченного сигмой,
- в одномерном случае - всё время растёт;
- в двумерном случае - всё время сохраняется примерно одинаковой;
- в трёхмерном случае и выше - всё время падает.
А это падение и означает, что вероятность возврата в окрестность нуля - конечна и невелика. По сути, её можно приблизительно подсчитать, если просуммировать первые несколько членов - те, которые поддаются тупому перебору. Возможно, тут ряд типа 1/4+3/16+6/64+... (я не говорю, что именно такой! я сказал, типа).

Уточню. Вероятность попасть в окрестность нуля, радиус которой меньше длины первого шага, равна нулю в бесконечномерном пространстве.

А в чём сомнения-то?

Есть n независимых случайных величин.
Фиксация одной из них приводит нас к (n-1)-му случаю.
Фиксация всех - к 0-мерному случаю (король неподвижен!).

А никто и не говорит, что этого никогда не произойдёт.
Это произойдёт, но с вероятностью, практически экспоненциально падающей при устремлении размерности доски в бесконечность.
Замечу, что если заменить короля более близкодействующей фигурой, то падение вероятности станет линейным по знаменателю. Но всё равно стремится к нулю.

При конечных размерностях вероятность возвращения на втором ходу равна 1/m, где m=3^n-1 (в случае запрета пустого хода), а ведь вернуться можно на третьем, четвёртом и так далее.

Одновременное возвращение двух королей - это комбинация каких событий?
1-е: на N-м ходу первый король на клетке (0,0);
2-е: на N-м ходу второй король на клетке (0,0);

А у какого события вероятность единична?
У события, равного сумме событий "король достиг клетки (0,0) за 2 хода", "король достиг клетки (0,0) за три хода", и так далее до бесконечности.

Эта вероятность единична для обоих королей. Но из этого никак не следует,
что единичной должна быть и сумма таких событий:
"оба короля достигли клетки (0,0) за 2 хода",
"оба короля достигли клетки (0,0) зв 3 хода", и так далее до бесконечности.

Более того, из этой схемы можно видеть, что каждое слагаемое второй суммы меньше соответствующего слагаемого первой, ибо равно его квадрату.
Из чего следует, что вероятность когда-нибудь-возврата 4-мерного короля к началу МЕНЬШЕ ОДНОЙ ВОСЬМОЙ.
6-мерного - меньше чем 1/64.
8-мерного - меньше, чем 1/512.

Откуда взялись эти задачи - я уже забыл.
И я не настолько хорошо в курсе математической науки, чтобы знать, есть ли правильные ответы. Наверняка есть.

Но в плоском случае единичная вероятность возврата короля в начальную клетку определяется теоремой Эйнштейна-Смолуховского (хотя теорема рассматривает более общий случай распределения).
Я пробовал смоделировать эту систему через расползание вероятностей по матрице, но у меня не позже 80-го шага в начальной клетке оказалось число, большее единицы (имеется в виду сумма вероятностей). Вероятностью такое число, конечно, быть не может, но оно вполне катит на матожидание числа возвратов. Полагаю, это число растёт с шагами логарифмически.

Некорректно фиксировать бесконечное число случайных величин.

Есть два абсолютно сходящихся ряда. Все слагаемые второго ряда меньше, чем стоящие на той же позиции слагаемые первого ряда. Может ли сумма второго ряда не быть меньше суммы первого?
Хотя вообще-то тут первый ряд не абсолютно сходящийся, а логарифмически расходящийся... Но уже ряд для трёхмерья абсолютно сходящийся!

Я не понял, что за процедуру Вы проделываете.
Вот взяли одно измерение, и в нём зафиксировали все моменты, когда траектория прошла через 0. Их бесконечно много, это факт.
Теперь взяли второе измерение, и в нём тоже зафиксировали моменты прохождения через 0.
Согласно теореме Эйнштейна-Смолуховского, эти моменты хотя бы один раз должны совпасть (и более того, они хотя бы раз совпадут для любой пары координат, не только (0,0)!).

Но вот мы добавляем третье измерение, и в нём тоже фиксируем моменты перехода через 0. Но здесь требуется совпадение не с моментом прохождения первой траектории через 0, а с моментом совпадения прохождений у первой и второй траекторий!
А вот тут уже нельзя сказать, что хотя бы один раз это событие будет.

Да, по обеим координатам число прохождений бесконечно. Однако число одновременных прохождений - только логарифм от бесконечности, не больше.
Введение третьей координаты - это поиск событий одновременного пересечения нуля тремя траекториями. А вот у этого события матожидание числа раз конечно.

А я вот что подумал. Вам такая последовательность чисел знакома?
1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393...
Формулу я не определил, но она должна быть обязательно.
И наверняка эта последовательность есть у Слоуна. Она родственна числам Каталана и полиномиальным коэффициентам.

Если эту последовательность делить на степени тройки, то получится вероятность попадения короля в 0 по одной координате за заданное число шагов.
0 шагов - 1/1
1 шаг - 1/3
2 шага - 3/9
3 шага - 7/27
4 шага - 19/81
5 шагов - 51/243
6 шагов - 141/729
7 шагов - 393/2187
и так далее.

Просто суммировать эти вероятности не совсем корректно - получишь матожидание. Для получения вероятности нужно вычитать из единицы произведение невероятностей. То есть
p = 1-(2/3)*(6/9)*(20/27)*(62/81)*(192/243)*(588/729)*(1794/2187)*...

Двумерный случай - это произведение двух независимых одномерных
p = 1-(8/9)*(72/81)*(680/729)*...

Трёхмерный - это
p = 1-(26/27)*(702/729)*(19350/19693)*...