Ну, за устойчивость по Ляпунову! (Страница 2 из 2)

Значит, чему равно F(a, 0)? Лежит ли k(sin(w*(t-t0)), где t=0 в интервале [-k, k], как думаешь?..

И где бы мы не поставили границу М, это множество будет устойчивым, т.к. для любого дельта найдется соответствующий эпсилон, который ограничит рост функции, понимаешь?

Дело в том, что условия управляемости системы мы уже, вроде бы, обсудили со Зверьком в той же теме. Поведение колес машины - это, конечно, полностью управляемая система.

Заметь, что все неравенства записываются для одного момента времени. Даже для орбитальной устойчивости моменты времени "связаны". Так что принадлежность области значений множеству ни о чем не говорит.

Итак, если я правильно помню теорию динамических систем, то движение устойчиво по Ляпунову, если для всех траекторий  выполняется
.

Теперь про устойчивость. Мы из одной точки "выпускаем" некоторую траекторию.
- Если при малом смещении начальной точки траектория "ляжет" вплотную к начальной, то система устойчива по Ляпунову.
- Если при малом смещении начальной точки траектория будет "плясать" как хочет, но в итоге где-то далеко будет почти совпадать с начальной (т.е. малое изменение начальных условий практически не влияет на эволюцию) и чем дальше, тем ближе, то система асимптотически устойчива по Ляпунову.
- Если новая траектория будет лежать рядом со старой геометрически, но соседним точкам старой и новой траекторий соответствуют разные моменты времени -- это орбитальная устойчивость.

Если эволюция является канонической, т.е. подчиняется уравнениям Гамильтона, то система называется канонической.

Например, по теореме Лиувилля в канонических системах фазовый объем ("объем капли") всегда сохраняется. Отсюда следует теорема Пуанкаре, которая говорит о том, что какую бы малую мы не брали окрестность вокруг начальной точки, система всегда пройдет через нее. То есть, если в безвоздушной камере находится газ в форме кубика, то он, конечно, распределиться по всей камере. Но не навсегда. По теореме Пуанкаре он обязательно соберется обратно в кубик.

Ну вот. Только что всё казалось ясным. А теперь пришёл masai и стал запутывать.

masai, по таким определениям получается, что орбитальная устойчивость - это частный случай устойчивости по Ляпунову (формулам на эпсилон и дельту удовлетворяет). Но при этом устойчивость по Ляпунову не содержит в себе орбитальной устойчивости (ведь орбитальная устойчивость не ляжет вплотную).

Уравнения Гамильтона? Что это за хрень?

А если без теорем разных знаменитостей? Тогда газ соберётся в кубик?

spyke пишет:

Поведение монстра в компьютерной игре и процесс тетриса управляемы полностью, механизм управления содержит программа игры, ну, та часть, которая задает закон, по которому ведет себя монстр и тетрис.

Следовательно, выиграть в этих играх - сущий пустяк.

Движение собственных рук - вот с этим действительно очень сложно.

Но, чисто из самых общих соображений, думаю я, что движение собственных рук не будет полностью управляемой системой,

А ведь при управлении автомобилем руки используются. И ноги тоже.
Так с чего бы автомобилю быть полностью управляемой системой?

А на самом деле и то, и другое - это системы следящего уравновешивания. То есть, управляющее устройство (мозг) получает сигнал о знаке и величине отклонения от желаемой траектории и реагирует на него поправками в управляющее воздействие. Благодаря чему отклонение держится в допустимых рамках.

spyke пишет:

Да, система "автомобиль" полностью управляема.

Как насчёт системы "бракованный автомобиль"?

В играх обычно ставят рандомизаторы. Которые используют как алгоритмические методы вроде линейно-конгруэнтного, так и другие: текущее время, межкнопочные интервалы, мышиные события и т.п.